Oddiy differensial tenglamalar / O‘zbekcha qo‘llanma
Runge–Kutta 4-tartibli usuli (RK4)
To‘rtinchi tartibli Runge–Kutta usuli bir qadamda boshlang‘ich, ikki o‘rta va oxirgi nuqtadagi qiyaliklarni birlashtiradi. U ko‘p oddiy differensial tenglamalarda aniqlik va hisoblash xarajati o‘rtasida yaxshi muvozanat beradi.
Interaktiv hisoblagichni ochishAsosiy formula
k₁ = h f(xᵢ,yᵢ); k₂ = h f(xᵢ+h/2,yᵢ+k₁/2); k₃ = h f(xᵢ+h/2,yᵢ+k₂/2); k₄ = h f(xᵢ+h,yᵢ+k₃); yᵢ₊₁ = yᵢ + (k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6
Qadam-baqadam algoritm
- 1Boshlang‘ich (xᵢ, yᵢ) nuqtasi va h qadamni belgilang.
- 2Qadam boshidagi qiyalik k₁ ni hisoblang.
- 3Ikki yarim qadamdagi qiyaliklar k₂ va k₃ ni hisoblang.
- 4Qadam oxiridagi k₄ ni topib, to‘rtta bahoni vaznli o‘rtacha bilan birlashtiring.
Ishlangan misol
y′ = y, y(0) = 1 tenglamasi uchun h = 0.1.
k₁ = 0.1; k₂ = 0.105; k₃ = 0.10525; k₄ = 0.110525.
y₁ = 1 + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6 ≈ 1.1051708; aniq qiymat e⁰·¹ ≈ 1.1051702.
Qachon ishlatiladi?
- Birinci tartibli boshlang‘ich qiymatli ODE uchun Eylerdan aniqroq standart usul kerak bo‘lsa.
- Har bir qadamda to‘rtta funksiya bahosi maqbul hisoblash xarajati bo‘lsa.
Cheklovlari
- Oddiy RK4 xato bahosini o‘zi avtomatik bermaydi; qadamni tanlash foydalanuvchiga qoladi.
- Qatti stiff yoki uzilishli masalalarda maxsus usul va adaptiv qadam kerak bo‘lishi mumkin.
Ko‘p so‘raladigan savollar
RK4 dagi 4 raqami nimani anglatadi?
Silliq yechim uchun usulning global xato tartibi to‘rtinchi daraja, ya’ni O(h⁴) ekanini bildiradi.
RK4 Eylerdan nimasi bilan farq qiladi?
Eyler bir qiyalikdan foydalanadi; RK4 esa bir qadam ichidagi to‘rtta qiyalikni vaznli birlashtirib, odatda aniqroq natija beradi.