Sonli Usullar/O‘zbekcha qo‘llanma
v2

Interpolyatsiya / O‘zbekcha qo‘llanma

Lagranj interpolyatsiyasi

Lagranj interpolyatsiyasi berilgan turli xᵢ nuqtalaridagi yᵢ qiymatlardan yagona ko‘phad tuzadi. Ko‘phad barcha kirish nuqtalaridan aniq o‘tadi va oraliqdagi noma’lum qiymatni baholashga yordam beradi.

Interaktiv hisoblagichni ochish

Asosiy formula

P(x) = Σᵢ yᵢ Lᵢ(x), Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ (x − xⱼ) / (xᵢ − xⱼ)

Qadam-baqadam algoritm

  1. 1Koordinatalar jadvalidagi xᵢ qiymatlari takrorlanmasligini tekshiring.
  2. 2Har bir nuqta uchun qolgan nuqtalarda nol, o‘z nuqtasida bir bo‘ladigan Lᵢ(x) bazis ko‘phadini tuzing.
  3. 3Bazis ko‘phadlarni mos yᵢ qiymatlarga ko‘paytirib, yig‘ing.
  4. 4Hosil bo‘lgan P(x) ni kerakli x qiymatida hisoblang.

Ishlangan misol

(0, 1), (1, 3), (2, 2) nuqtalardan o‘tuvchi ko‘phadni x = 1.5 da hisoblash.

L₀(1.5) = −0.125, L₁(1.5) = 0.75, L₂(1.5) = 0.375.

P(1.5) = 1·(−0.125) + 3·0.75 + 2·0.375 = 2.875.

Qachon ishlatiladi?

  • Cheklangan sondagi tajriba yoki jadval nuqtalaridan silliq qiymat baholash kerak bo‘lsa.
  • Nuqtalar soni kichik va ko‘phadni tushunarli ko‘rinishda qurish muhim bo‘lsa.

Cheklovlari

  • Ko‘p nuqtada yuqori darajali ko‘phad chekka tebranishlarga moyil bo‘lishi mumkin.
  • Yangi nuqta qo‘shilganda ko‘phadni qayta hisoblash talab qilinadi; katta ma’lumotlar uchun bo‘lakli interpolatsiya ma’qul bo‘lishi mumkin.

Ko‘p so‘raladigan savollar

Interpolatsiya va ekstrapolyatsiya farqi nimada?

Interpolatsiya berilgan nuqtalar oralig‘idagi qiymatni baholaydi. Ekstrapolyatsiya esa shu oraliqdan tashqariga taxmin qiladi va odatda ishonchliligi pastroq.

Lagranj usulida x qiymatlari takrorlanishi mumkinmi?

Yo‘q. Bazis ko‘phad maxrajlarida xᵢ − xⱼ borligi sababli barcha tugun x qiymatlari turlicha bo‘lishi kerak.